Read Ebook: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen by Klein Felix

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Ebook has 149 lines and 27762 words, and 3 pages

?. 1. Station?re Str?mungen in der Ebene als Deutung der Functionen von x + iy.

Die physikalische Deutung der Functionen von , mit welcher wir im Folgenden zu arbeiten haben, ist in ihren Grundlagen wohlbekannt, nur der Vollst?ndigkeit halber m?ssen letztere kurz zur Sprache gebracht werden.

Sei , , . Dann hat man vor allen Dingen:

und hieraus:

Die folgende Figur mag dieses Vorkommniss f?r erl?utern und namentlich verst?ndlich machen, wie sich ein Kreuzungspunct in das Orthogonalsystem einf?gt, welches ?brigens von den Curven Const., Const. gebildet wird:

Figur 1.

Die Str?mungscurven Const. erscheinen in der Figur ausgezogen und die Str?mungsrichtungen auf ihnen durch beigesetzte Pfeilspitzen angegeben; die Niveaucurven sind durch Punctirung angedeutet. Man sieht, wie die Fl?ssigkeit von drei Seiten auf den Kreuzungspunct zustr?mt, um ebenfalls nach drei Seiten von demselben abzustr?men. Diess wird nur dadurch m?glich, dass die Geschwindigkeit der Str?mung im Kreuzungspunkte gleich Null wird . In der That ist ja die Geschwindigkeit durch gegeben.

Figur 2.

Figur 3.

Ich habe in denselben der Einfachheit halber nur die Str?mungscurven angegeben. Linker Hand erblickt man denselben Kreuzungspunct von der Multiplicit?t Zwei, auf den sich Figur 1 bezieht. Rechter Hand liegt eine Str?mung vor, welche dicht bei einander zwei einfache Kreuzungspuncte aufweist. Man erkennt, wie der eine Str?mungszustand aus dem anderen durch continuirliche Aenderung hervorgeht.

Bei dieser Erl?uterung wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass das Gebiet, in welchem wir den Str?mungszustand betrachten, sich nicht in's Unendliche erstrecke. Es hat allerdings keinerlei principielle Schwierigkeit, den Punct ebenso in Betracht zu ziehen, wie irgend einen anderen Punct . An Stelle der Reihenentwickelung nach Potenzen von hat dann in bekannter Weise eine solche nach Potenzen von zu treten. Man wird von einem -fachen Kreuzungspuncte bei sprechen, wenn diese Entwickelung hinter dem constanten Gliede sofort einen Term mit bringt. Aber es scheint ?berfl?ssig, die geometrischen Verh?ltnisse, welche diesen Vorkommnissen bei unserer Str?mung entsprechen, ausf?hrlicher zu schildern. Denn wir werden sp?ter Mittel und Wege kennen lernen, um die Sonderstellung des Werthes , wie sie uns hier entgegentritt, ein f?r allemal zu beseitigen. Ebendesshalb wird der Punct in den n?chstfolgenden Paragraphen bei Seite gelassen, trotzdem er auch dort, wenn man vollst?ndig sein wollte, besonders in Betracht gezogen werden m?sste.

so wird in erster Ann?herung f?r , :

Figur 4.

Figur 5.

Man wird vermuthen, dass diese h?heren Vorkommnisse aus den niederen durch Gr?nz?bergang entstehen m?gen. Ich verschiebe die betreffende Erl?uterung bis zum folgenden Paragraphen, wo uns eine bestimmte Functionsclasse die erforderlichen Anschauungen mit Leichtigkeit vermitteln wird.

?. 3. Rationale Functionen und ihre Integrale. Entstehung h?herer Unendlichkeitspuncte aus niederen.

Fig. 6.

Fig. 7.

Ich habe dabei die Anordnung in doppelter Weise getroffen, so dass linker Hand zwei Quellenpuncte, rechter Hand zwei Wirbelpuncte einander nahe ger?ckt scheinen und Figur 4 als ?bereinstimmendes Resultat des Gr?nz?berganges in beiden F?llen erscheint. In derselben Beziehung stehen die folgenden beiden Zeichnungen zu Figur 5:

Fig. 8.

Fig. 9.

Fig. 10.

Es ist nat?rlich leicht, diese beiden Arten des Gr?nz?berganges unter eine allgemeinere gemeinsam zu subsumiren. Wenn man logarithmische Unendlichkeitspuncte und Kreuzungspuncte successive oder gleichzeitig zusammenfallen l?sst, so wird allemal ein -facher algebraischer Unstetigkeitspunct entstehen. Doch ist hier nicht der Ort, um diese Gedanken weiter auszuf?hren.

?. 4. Realisation der betrachteten Str?mungen auf experimentellem Wege.

Da bei einen Unstetigkeitspunct hat, was eine unn?thige Besonderheit ist, so wollen wir den ersten Typus durch den allgemeineren ersetzen:

Fig. 11.

Fig. 12.

Durch alle diese Anordnungen hindurch ist von Vorne herein ersichtlich, dass die beiden bei und auftretenden Wirbelpuncte in der That entgegengesetzt gleiche Intensit?t haben m?ssen. Aus ?hnlichen Gr?nden wird die Gesammtintensit?t s?mmtlicher Wirbel bei beliebig vielen gegebenen Wirbelpuncten immer gleich Null sein, und ist dadurch der Satz von dem Verschwinden der Summe aller logarithmischen Residuen, auch was den reellen Theil dieser Residuen angeht, auf physikalisch evidente Gr?nde zur?ckgef?hrt.

?. 5. Uebergang zur Kugelfl?che, Str?mungen auf beliebigen krummen Fl?chen.

Indem wir Fl?ssigkeitsbewegungen parallel der -Ebene studirten, haben wir uns bereits gew?hnt, die Fl?ssigkeitsschicht, welche der Betrachtung unterliegt, als unendlich d?nn vorauszusetzen. In demselben Sinne kann man Fl?ssigkeitsbewegungen offenbar auf beliebig gegebenen Fl?chen betrachten. Die Verschiebungen frei ausgespannter Fl?ssigkeitsmembranen in sich, wie man sie bei den Plateau'schen Versuchen so sch?n beobachten kann, geben ein anschauliches Beispiel daf?r.--Wir werden versuchen, auch derartige Bewegungen durch ein Potential zu definiren, und vor allen Dingen fragen, welche Bewandniss es dann mit den station?ren Bewegungen hat.

An diese Differentialgleichung kn?pft nun eine kurze Ueberlegung, welche die volle Analogie mit den auf die Ebene bez?glichen Resultaten herstellt.

und hieraus:

welche das Bogenelement der Kugel zum Bogenelement der Ebene in Beziehung setzt. Hier ist eben auch eine Gr?sse zweiter Ordnung, und es findet daher beim Uebergange zur Kugel genaue Compensation statt.

?. 6. Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Functionen eines complexen Argumentes.

Sie gehen also direct in jene Gleichungen ?ber, durch welche man Functionen des Argumentes zu definiren pflegt, so dass in der That eine Function von wird, was zu beweisen war.

Zugleich erledigt sich, was hinsichtlich conformer Abbildung behauptet wurde. Denn ans der Form des Bogenelementes

folgt unmittelbar, dass unsere Fl?che durch auf die -Ebene conform ?bertragen wird. Ich will dieses Resultat in etwas allgemeinerer Form aussprechen, indem ich sage:

Es ist dies die Umkehr des ?hnlich lautenden am Schlusse des vorigen Paragraphen aufgestellten Satzes.

?. 7. Noch einmal die Str?mungen auf der Kugel. Riemann's allgemeine Fragestellung.

F?r unsere Betrachtungen sind selbstverst?ndlich alle diejenigen geschlossenen F?chen als aequivalent aufzufassen, die sich durch eindeutige Zuordnung conform auf einander abbilden lassen. Denn jede complexe Function des Ortes auf der einen Fl?che wird sich bei einer solchen Abbildung in eine ebensolche Function auf der anderen Fl?che verwandeln: die analytische Beziehung also, welche durch das Zusammenbestehen zweier complexer Functionen auf der einen Fl?che versinnlicht wird, bleibt beim Uebergange zur zweiten Fl?che durchaus unge?ndert. Wenn man also z. B. das Ellipsoid derart conform auf die Kugel beziehen kann, dass jedem Puncte desselben ein und nur ein Kugelpunct entspricht, so heisst diess f?r uns, dass das Ellipsoid ebenso geeignet ist, die rationalen Functionen und ihre Integrale zu repr?sentiren, wie die Kugel.

Fig. 14.

Eine ?hnliche Normalfl?che ist nat?rlich auch bei statthaft, wie ?berhaupt man sich diese Fl?chen nicht als starr gegeben, sondern als beliebiger Verzerrungen f?hig denken muss.

Fig. 15.

Allgemein gebrauchen wir Querschnitte. Es wird, denke ich, mit R?cksicht auf die folgende Figur verst?ndlich sein, wenn ich bei der einzelnen Handhabe unserer Normalfl?che von einer Meridiancurve und einer Breitencurve rede:

Fig. 16.

?. 9. Vorl?ufige Bestimmung station?rer Str?mungen auf beliebigen Fl?chen.

Wir haben uns nun mit der Aufgabe zu besch?ftigen, auf beliebigen Fl?chen die allgemeinsten einf?rmigen, station?ren Str?mungen mit Geschwindigkeitspotential zu definiren, immer unter der Voraussetzung, dass keine anderen Unendlichkeitspuncte zugelassen werden sollen, als die in ?. 2 genannten. Zu dem Zwecke richten wir unsere Ideen auf die Normalfl?chen des vorigen Paragraphen und benutzen ?brigens wieder Vorstellungen der Elektricit?tslehre. Die gegebene Fl?che denken wir uns mit einem unendlich d?nnen gleichf?rmigen Ueberzuge einer leitenden Substanz versehen, und wenden zun?chst diejenigen experimentellen Mittel an, die uns von ?. 3 her bekannt sind. Wir werden also zuv?rderst etwa die beiden Pole einer galvanischen Batterie auf unsere Fl?che an zwei beliebigen Stellen aufsetzen: es entsteht dann eine Str?mung, welche diese beiden Stellen als Quellenpuncte von entgegengesetzt gleicher Ergiebigkeit besitzt. Wir werden sodann zwei beliebige Puncte der Fl?che durch eine oder mehrere, neben einander herlaufende, sich selbst nicht schneidende Curven verbinden, welche der Sitz constanter elektromotorischer Kr?fte sein sollen,--wobei man sich alles Dessen erinnern mag, was in ?. 4 betreffs der dann nothwendig werdenden experimentellen Anordnung gesagt wurde. Wir erhalten dann eine station?re Bewegung, f?r welche die beiden Puncte Wirbelpuncte von entgegengesetzt gleicher Intensit?t sind.--Wir werden ferner verschiedene solche Bewegungsformen ?berlagern und endlich, wenn es n?thig scheint, getrennte Unendlichkeitspuncte durch Gr?nz?bergang zu h?heren Unendlichkeitspuncten zusammenfallen lassen. Alles das gestaltet sich genau so, wie auf der Kugel, und wir haben also jedenfalls den folgenden Satz:

Fig. 17.

Fig. 18.

In der That, man verfolge den Weg einer geschlossenen Curve auf unserer Normalfl?che. F?r wird die Richtigkeit unserer Behauptung dann unmittelbar evident. Es gen?gt, ein Beispiel zu betrachten, wie es in den vorstehenden Figuren vorliegt.

Fig. 19.

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