Read Ebook: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen by Klein Felix

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Ebook has 149 lines and 27762 words, and 3 pages

Fig. 19.

Fig. 20.

Die Figur 20 erl?utert, wie man eine solche Curve durch Deformation ver?ndern kann. Durch Fortsetzung des hierdurch angedeuteten Processes verwandelt sie sich in einen Curvenzug, der aus der inneren Randcurve der betreffenden Handhabe und einer zugeh?rigen Meridiancurve besteht, dessen St?cke aber beide zweimal in entgegengesetzter Richtung durchlaufen werden. Also auch eine solche Curve gibt keinen Beitrag zur Str?mung. Man h?tte dieses ?brigens auch von Vorneherein aus der Bemerkung ersehen k?nnen, dass die jetzt betrachtete Curve, gleich einer solchen, die sich in einen Punct zusammenziehen l?sst, die gegebene Fl?che in getrennte Gebiete zerlegt.

?. 10. Die allgemeinste station?re Str?mung. Beweis f?r die Unm?glichkeit anderweitiger Str?mungen.

?. 11. Erl?uterung der Str?mungen an Beispielen.

Fig. 21.

Beginnen wir mit ?berall endlichen Str?mungen auf dem Ringe . Wir betrachten zun?chst eine Breitencurve als Sitz der elektromotorischen Kraft. Dann entsteht die Figur 21, in der alle Str?mungscurven Meridiancurven sind und Kreuzungspuncte nicht auftreten. Die Meridiancurven sind dabei durch St?cke radial verlaufender gerader Linien vorgestellt. Die Pfeilspitzen geben die Str?mungsrichtung auf der Vorderseite, auf der R?ckseite haben wir durchweg den umgekehrten Bewegungssinn.

Bei der conjugirten Str?mung spielen die Breitencurven die analoge Rolle, wie soeben die Meridiancurven; dieselbe mag durch folgende Zeichnung erl?utert sein:

Fig. 22.

Der Bewegungssinn ist in diesem Falle auf Vorder- und R?ckseite derselbe.

Fig. 23.

Fig. 24.

Fig. 25.

Fig. 26.

Gehen wir nun zum Ringe zur?ck und lassen bei ihm zwei logarithmische Unstetigkeitspuncte gegeben sein! Man erh?lt zugeh?rige Figuren, wenn man die Zeichnungen und einem Deformationsprocesse unterwirft, der auch in allgemeineren F?llen ebenso interessant als n?tzlich ist. Wir wollen n?mlich die Partieen linker Hand in den einzelnen Figuren zusammenziehen, die rechter Hand ausdehnen, so dass wir zun?chst etwa folgende Bilder erhalten:

Fig. 27.

Fig. 28.

Fig. 29.

Fig. 30.

Fig. 31.

Fig. 32.

?. 12. Ueber die Zusammensetzung der allgemeinsten complexen Function des Ortes aus einzelnen Summanden.

Der Beweisgang des ?. 10 setzt uns in den Stand, von der allgemeinsten auf einer Fl?che existirenden complexen Function des Ortes uns dadurch eine concretere Vorstellung zu machen, dass wir dieselbe aus einzelnen Summanden von m?glichst einfacher Eigenschaft additiv zusammensetzen.

Um nun von den Potentialen u zu den ?berall endlichen Functionen ?berzugehen, denke ich mir der Einfachheit halber ein solches Coordinatensystem auf der Fl?che eingef?hrt , dass durch die Gleichungen verkn?pft sind:

Sei jetzt ein beliebiges ?berall endliches Potential. Wir bilden das zugeh?rige und haben:

Denn wenn zwischen eine Gleichung

mit constanten Co?fficienten best?nde, so w?rde dieselbe die folgenden Relationen begr?nden:

aus denen verm?ge der angegebenen Beziehungen das widersinnige Resultat

folgen w?rde.

Es sei nun ferner von und linear unabh?ngig. Dann nehmen wir das zugeh?rige und haben dann den allgemeineren Satz:

In der That k?nnte man aus jeder linearen Relation:

durch Benutzung der zwischen den bestehenden Beziehungen die folgenden Gleichungen ableiten:

aus denen durch Integration eine lineare Abh?ngigkeit zwischen folgen w?rde.--

So vorw?rts schliessend bekommt man endlich linear unabh?ngige Potentiale:

besteht, unter beliebige complexe Constanten verstanden. Dann haben wir sofort:

Es seien die Punkte, in denen unsere Function in irgendwie vorgeschriebener Weise unendlich werden soll. Wir wollen dann einen H?lfspunct einf?hren und eine Reihe von einzelnen Functionen

construiren, von denen jede einzelne nur in einem der Puncte , und zwar in der f?r diesen Punct vorgeschriebenen Weise, unendlich werden soll und ?berdies in einen logarithmischen Unstetigkeitspunct besitzen mag, dessen Residuum dem, zu dem betreffenden geh?rigen, logarithmischen Residuum entgegengesetzt gleich kommt. Die Summe

womit wir auch das allgemeine hier in Betracht kommende Theorem gefunden haben.

?. 13. Ueber die Vieldeutigkeit unserer Functionen. Besondere Betrachtung eindeutiger Functionen.

Fig. 33.

Analoge Betrachtungen, wie wir sie hiermit f?r eindeutige Functionen erledigt haben, finden nat?rlich auch bei vieldeutigen Functionen ihre Stelle. Ich gehe auf sie nur desshalb nicht ein, weil es die im Folgenden festgehaltene Umgr?nzung des Stoffes nicht n?thig macht. Auch kommt nur in den allereinfachsten F?llen ein ?bersichtliches Resultat. Sei in dieser Beziehung daran fl?chtig erinnert, dass eine complexe Function mit mehr als zwei incommensurabeln Periodicit?tsmoduln an jeder Stelle jedem beliebigen Werthe unendlich nahe gebracht werden kann.

?. 14. Die gew?hnlichen Riemann'schen Fl?chen ?ber der x + iy-Ebene.

Ich habe mich im vorigen Paragraphen ziemlich kurz fassen k?nnen, da ich die gew?hnliche Riemann'sche Fl?che ?ber der Ebene mit ihren Verzweigungspuncten als bekannt ansah. Immerhin wird es n?tzlich sein, wenn ich das Gesagte an einem Beispiele erl?utere. Wir wollen einen Ring betrachten. Auf ihm existiren nach ?. 13 eindeutige Functionen mit nur zwei Unendlichkeitspuncten. Eine jede derselben besitzt nach der allgemeinen Formel des ?. 11 vier Kreuzungspuncte. Der Ring ist also auf mannigfache Weise auf eine zweibl?ttrige ebene Fl?che mit vier Verzweigungspuncten abzubilden. Ich will den besonderen Fall, in welchem ich diese Abbildung nunmehr betrachten werde, auf explicite Formeln st?tzen, damit auch denjenigen Lesern, die in rein anschauungsm?ssigen Operationen minder ge?bt sind, die Sache zug?nglich sei. Allerdings greife ich damit in etwas den Entwickelungen vor, welche erst der folgende Paragraph zu bringen bestimmt ist.

Fig. 34.

Daher wird das Bogenelement:

oder:

gesetzt sein soll.

Fig. 35.

Fig. 36.

Nat?rlich erblickt man nur die Oberseite der Ringfl?che, die auf der R?ckseite abgebildeten Quadranten 3 und 4 werden beziehungsweise von 2 und 1 verdeckt.

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